Tính Tổng Các Số Hạng Của Một Dăy Số

Tìm Nghiệm Số Gần Đúng Của Phương Trình

Tìm nghiệm số của một số dạng phương trình đã thách thức các nhà toán học truy tìm cách giải tổng quát qua nhiều thế kỷ. Người ta chỉ tìm được nghiệm cho các phương trình bậc cao nếu đoán được nghiệm của nó trước với mục đích để giảm bậc của phương trình xuống. Ngày nay người ta đã biết rằng không có cách giải tổng quát cho các phương trình từ bậc năm trở lên bằng những phương pháp đại số hiện đại. Phần chứng minh này đã được hai đại gia toán học trẻ Niels Henrik Abel người Na-uy (1802-1829) và Évariste Galois người Pháp (1811-1832) lần lượt đưa ra cách lý giải riêng và cho kết quả giống nhau. Cũng từ đó kỷ nguyên truy tìm phương pháp giải tổng quát cho các phương trình bậc cao bằng phương pháp đại số đã tạm khép lại (1*) và được thay thế bằng những phương pháp tìm nghiệm gần đúng cho các phương trình bậc cao hay các phương trình có dạng phức tạp khác. Với sự phát triển của điện toán, người ta đã phát triển một số thuật toán để tìm nghiệm gần đúng của bất kỳ phương trình đã được tính chính xác tới nhiều số thập phân. Trong phần này sẽ không truy cứu các phương pháp giải bằng đại số cho các phương trình mà chỉ đề cập tới cách dùng phần mềm GraphFunc để đi tìm nghiệm gần đúng cho bất kỳ phương trình nào đó.

1. Chúng ta xét phương trình bậc ba sau đây:

Phương trình (I) trên có nghiệm bằng 1, do đó, ta chia phương trình (I) cho (x-1) ta được dạng bậc hai. Trong dạng bậc hai này ta tìm được nghiệm của nó là 2 và 3. Từ đó phương trình (I) được viết lại:

(x-1)(x-2)(x-3) = 0 hay nghiệm của nó là x = 1, x = 2, x = 3.

Ta dùng GraphFunc để tìm nghiệm của phương trình (I) bằng cách vẽ hàm số:

Sau đó ta chọn chức năng X-Intercept bằng cách bấm hôp kéo từ . Đoạn ta đưa con trỏ (chuột) và bấm vào những điểm trên đồ thị mà hàm số f(x) (II) cắt trục hoành (x-axis) nơi mà f(x) = 0, ta thấy giá trị x = 1,0000000000000004 (2*) được xác định ngay sau khi ta bấm con trỏ. Xem hình 1.

Hình 1: khi bấm con trỏ gần điểm cắt trục hoành đầu tiên của hàm số (II), ta thấy giá trị x = 1,0000000000000004 nơi mà bạn thấy đường thẳng dọc mầu đỏ.

Như vậy ta tìm nghiệm gần đúng thứ nhất có giá trị x = 1,0000000000000004. Sau đó ta đưa con trỏ đến vị trí cắt trục hoành khác và nghiệm số của nó được tìm thấy là 2,000000000000001 và x = 2,99999999999946 như được mô tả trong hình 2 và 3 dưới đây.

Hình 2: cho nghiệm x = 2,000000000000001.

Hình 3: x = 2,99999999999946

Bạn chú ý rằng khi bạn dùng GraphFunc trên máy bạn thì nghiệm x có thể khác so với những hình được mô tả trên đây vì nó phụ thuộc vào vị trí của con trỏ và hệ điều hành của máy bạn. Bạn có thể thấy kết quả như x = 2,99999999999946 hoặc x = 3,000000000000022. Điều này cho thấy nghiệm x trong trường hợp nầy có sự sai biệt rất nhỏ, nhưng tựu chung giá trị của nó vẫn gần bằng 3.

Qua phần mô tả ở trên, ta thấy cách giải tìm nghiệm chính xác (do tiên đoán nghiệm hoặc dùng công thức tổng quát tìm nghiệm bậc ba) và cách giải gần đúng (do GraphFunc hỗ trợ) của phương trình (II) tương đối giống nhau.

2. Xét một dạng phương trình phức tạp khác:

Dạng phương trình (III) ta không có cách giảI tổng quát bằng phương pháp đại số để tìm nghiệm chính xác. Ta có thể tìm nghiệm bằng cách “đoán” sao cho giá trị x nào đó thoả mãn phương trình (III). Nếu bạn đoán theo cách thế giá trị lặp lại, bạn sẽ thấy nghiệm gần đúng của (III) có giá trị

Bạn hãy dùng GraphFunc như theo cách thức tìm nghiệm của phương trình (I) nêu trên để tìm nghiệm của phương trình (III). Bạn sẽ thấy nghiệm số của nó là x = 0,6797229723502322 và kết quả tìm thấy được mô tả trong hình 4.

Hình 4: Nghiệm số tìm được của phương trình (III) là x = 0,6797229723502322.

Đôi khi bạn phải sủ dụng thao tác nút Zoom In để thu tới gần một điểm nào đó trên đồ thị và bấm con trỏ vào điểm đó để có được nghiệm gần đúng hơn.

Như vậy: Chức năng X-intercept trong hộp kéo Function của GraphFunc cho bạn tìm nghiệm gần đúng (trên khoảng 10 số thập phân) của bất kỳ phương trình nào bằng cách vẽ nó trên đồ thị sau đó bấm con trỏ vào gần những điểm nơi mà f(x) = 0.

(1*) Trong toán học một khi đã chứng minh bằng phương pháp đại số thì kết quả của nó phải đúng luôn trong tất cả các quy luật trong hệ thống toán học. Nhưng điều đó không có nghĩa là không có phương pháp tổng quát giải cho các phương trình bậc cao. Hiện nay với hệ thống toán học hiện đại chưa đưa ra lời giải tổng quát và biết đâu trong tương lai có hệ thống toán học khác ra đời có thể giải được dựa trên những ký hiệu và quy tắc riêng của hệ thống đó.

(2*) Chú ý cách dùng dấu chấm trong các con số thập phân. GraphFunc hay các nước Tây phương dùng dấu chấm để biểu diễn số thập phân, còn Việt Nam hay các nước Âu châu thì dùng dấu phẩy.

Mọi ý kiến xây dựng và bài vở xin liên lạc dothi@seriesmathstudy.com

Trở về Toán Trực Tuyến