Tính Tổng Các Số Hạng Của Một Chuỗi Số

Tính Tổng Các Số Hạng Của Một Chuỗi Số

Khi một chuỗi số có cấu trúc đặc biệt, người ta có thể tính tổng các số hạng của chuỗi số đó lại với nhau dựa vào công thức tổng quát của nó (nếu công thức tổng quát tồn tại) cùng số hạng đầu và số hạng cuối. Trong toán học có rất nhiều chuỗi số mà công thức tổng quát của nó không được xác định và việc tính tổng của các chuỗi số lại với nhau gặp khó khăn khi các số hạng của chuỗi số đó lớn. GraphFunc có chức năng khắc phục được một số nhược điểm đó và nó giúp bạn tính tổng gần đúng cho các chuỗi số đặc biệt khác có số hạng cuối đang tiến về vô cực. Dưới đây là một số ví dụ điển hình để minh hoạ các điều vừa đề cập đến.

1. Thí dụ ta có chuỗi số có cấu trúc và công thức tổng quát như sau:

Giả sử ta cho n = 4, ta thấy biểu thức (I) cho hai vế bằng nhau. Thật vậy, ta thấy vế bên trái của biểu thức (I) cho

Vế bên phải biểu thức (I) được tính bằng

Bây giờ ta dùng chức năng trong GraphFunc để kiểm chứng bằng cách bấm vào nút Sum Series, bạn sẽ thấy hộp đối thoại hiển thị như hình số 1 dưới đây:

Hình 1.

Trong hình 1 hiển thị bốn chỗ cần điền: Start, End, in steps of và phần biểu thức (bạn thấy ô vuông lớn hiện đang chứa biểu thức 1/k^2 và tạm gọi nó là phần biểu thức); tất cả các giá trị này , theo mặc định, lần lượt là 1, 1000, 1, và. Trong đó nhãn hiệu Start cho biết số hạng đầu của chuỗi số, nhãn hiệu End là số hạng cuối của một chuỗi số, nhãn hiệu in steps of là giá trị tăng cách biệt giữa hai số hạng kề liên tiếp nhau của chuỗi số, và sau cùng là phần biểu thức nơi chứa hàm hay phương trình ( f(k) ) của chuỗi số.

Bây giờ để áp dụng cho công thức (I) khi n = 4, ta gán các giá trị sau đây: Start = 1, End = 4, in steps of = 1, và phần biểu thức = vào hộp đối thoại được mô tả trong hình 2 dưới đây:

Hình 2.

Sau khi điền các giá trị xong, bạn bấm nút Compute Sum cho thấy kết quả của tổng các số hạng từ 1 tới 4 có giá trị là 30 được mô tả trong hình 3.

Hình 3.

Bây giờ bạn thử thay đổi giá trị của n = 8 (tức là chỗ có nhãn hiêu End) và giá trị in steps of là 2, và bạn bấm nút Compute Sum cho thấy kết quả là 84 như được mô tả trong hình 4. Bạn cũng thấy rằng với giá trị n=8 và insteps of là 2, th́ chuỗi số bên trái của biểu thức (I) được viết lại và giá trị của nó là:

. Kết quả này phù hợp với cách vừa tính trên.

Hình 4.

Chú ý khi bạn cho n=8 và giá trị của in steps of là 2 th́ công thức tổng quát bên phải của biểu thức (I) ở trên không còn đúng nữa.

2. Chúng ta hãy xét một chuỗi số hội tụ mà tổng số các số hạng có liên hệ đến hằng số đă được nhà toán học Leonahard Euler người Thụy Sĩ khám phá ra vào năm 1734 như mô tả theo biểu thức (II) dưới đây:

Biểu thức (II) cho biết số hạng đầu là 1, số hạng cuối là vô cực (). và giá trị của chuỗi số này hội tụ chính xác về pi bình phương chia cho sáu. Biểu thức (II) là một trong những biểu thức đẹp nhất của toán học vào cuối thế kỷ 17 vì lẽ nó cho biết các con số nguyên dương có liên hệ với hằng số toán học, mà trước đó các nhà toán học nghĩ rằngchỉ tồn tại trong đường tròn hoặc trong các vật thể có hình cầu. Bây giờ bạn thử dùng GraphFunc để tính tổng gần đúng cho 1000 số hạng (n=1000) của biểu thức (II). Sau đây là các giá trị cần điền vào hộp đối thoại dựa theo cấu trúc của biểu thức (II) được minh họa trong Hình 5.

Hình 5.

Bạn thấy kết quả của việc tính tổng số hạng của chuỗi số theo Hình 5 có giá trị gần đúng là 1,6439345666815615…. Giá trị chính xác của chuỗi số này là Nếu bạn tăng trị giá của End lên là 10000, thì giá trị gần đúng của chuỗi số sẽ chính xác thêm một con số thập phân như được mô tả trong Hình 6.

Hình 6.

Như vậy để tính tổng các số hạng của chuỗi số trong biểu thức (II) chính xác tới 3 con số thập phân, bạn phải cộng khoảng 10000 số hạng!

3. Dưới đây là một số chuỗi số trong đó giá trị hội tụ của các chuỗi số này đă được xác định. Bạn hãy dùng chức năng Sum Series trong GraphFunc để kiểm tra kết quả của các chuỗi số này:

· (bạn có thể copy/paste cú pháp của chuỗi số này vào phần hộp đối thoại: 1/(k^4) )

· (cú pháp: 1/(k^6) )

· ( 1/(16*k^2 +32*k +15) . Chú ý giá trị ban đầu của k = 0, do đó, bạn cần chỉnh giá trị chỗ Start trên GraphFunc bằng 0)

· (cú pháp: 1/(k^2 +1)^3 )

[cú pháp: ((4.0*16^k)/((1+sqrt(3))^(8*k-1)) )*( (7+4*sqrt(3))/(8*k-5) + (26+15*sqrt(3))/(8*k-7) -1/(8*k-1) - (2+sqrt(3))/(8k-3)) ] – Chú ý: Trong ví dụ này bạn quan sát giá trị tính tổng số hạng của chuỗi số này khi cho Start = 1 và End = 3. Sau đó bạn tăng dần giá trị của End lên cho tới 30, và bạn sẽ thấy kết quả cho Pi rất đáng chú ý. Thuật toán tính tổng số hạng của một chuỗi số được cài đặt trong GraphFunc chỉ dựa trên sự căn bản của thuật toán thông thường mà không phải là cách dùng để tính chính xác các số thập phân lên hàng tỷ con số, ví dụ như trong cách tính Pi. Nếu bạn cho giá trị End quá lớn, GraphFunc chỉ có thể tính tới giá trị lũy thừa cực đại cho phép vì lẽ trong trường hợp này cơ số 16 có lũy thừa trên 30 cho số quá lớn đủ làm dụng cụ tính bị “nghẹn”.

· (cú pháp: (9*k^2 + 18*k+8)/(9*k^2 +18*k +5) )

Mọi ý kiến xây dựng và bài vở xin liên lạc dothi@seriesmathstudy.com.