Tìm Độ Dài Của Đường Cong f(x) Trên Đoạn [a; b]

Trong phần này ta lượt sơ về khái niệm cách tìm công thức tính độ dài của đường cong f(x) dựa trên tích phân mà không đi vào chi tiết chứng minh kiểu thuần túy (1*). Phưong pháp này cũng giống như cách tìm công thức tính diện tích được giới hạn bởi hàm số f(x) và các đường khác. Khi một hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b], người ta tính chính xác được độ dài L của hàm số f(x) khởi đầu từ x = a tới x = b. Để tìm công thức tổng quát về độ dài của cung đường cong, ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau (2*) và bằng, sau đó ứng với một chiều rộngta có một chiều caovà một độ dàinhư chỉ trong hình 1a. Khi biết được độ dài của mỗi đoạn nhỏ thì cộng chúng lại với nhau để cho tổng độ dài dọc theo hàm số f(x) trên đoạn [a,b], và ta gán ký hiệu cho chiều dài nầy là L. Muốn độ dài L chính xác thì giới hạnphải tiến về 0.

Hình 1a

Hình 1b

Hình 1.

Ta tìm được chiều dàitừ tam giác vuông nhỏ có cạnh,và(3*) như được mô tả trong hình 1b:

hay

Để có L chính xác ta chotiến về 0. Khi đoạncàng nhỏ thì các đoạnvàcũng nhỏ theo. Đến đây ta dùng ký hiệu đạo hàm để chỉ những “đoạn nhỏ delta” đó đã tiến về 0 như sau: .

Biểu thức (I) cần viết lại theo các ký hiệu đạo hàm như sau:

Lấy tích phân hai vế của (II) trong khoảng x = a và x = b, ta tìm được độ dài L chính xác:

, trong đó đạo hàm y’= dy/dx.

Vây biểu thức (III) là công thức tổng quát để tìm độ dài của đường cong f(x) trên đoạn [a,b].

Sau đây chúng ta xét một số ví dụ và dùng GraphFunc để kiểm chứng kết quả.

1. Tìm độ dài của đường congtrong đoạn [0,2].

Giải

Dùng công thức (III), ta có:

(Chính xác)

Ta dùng GraphFunc để vẽ hàm sốvà cho giá trị x từ 0 tới 2 vào các nhãn hiệu From và To, sau đó bấm nút Find Length ta tính được chiều độ dài của đường cong là 2,7974349238017737…(chính xác tới 7 số thập phân). Xem hình 2.

Hình 2 - Một đoạn mầu đỏ biểu diễn trên đồ thị có chiều dài 2,79743…

2. Tìm độ dài của hàm sốtrong đoạn [0,3].

Giải

Dùng công thức (III), ta có:

Ta dùng GraphFunc để vẽ hàm sốvà cho giá trị x từ 0 tới 3 vào các nhãn hiệu From và To, sau đó bấm nút Find Length ta tính được độ dài của đường cong f(x) là 9,747088738059718…(chính xác tới 7 số thập phân). Xem hình 3.

Hình 3 - Một đoạn mầu đỏ biểu diễn trên đồ thị có chiều dài 9,747088…

Vậy, sử dụng nút Find Length trong phần mềm GraphFunc để tính gần đúng độ dài của đường cong f(x) trong đoạn [a,b].

(1*) Phần này không giải thích theo các cách chứng minh trong sách giáo khoa mà chỉ cố gắng theo đuổi cách giải thích “bình dân” đi từ quan sát rồi đến thực nghiệm. Bạn đọc có thể tham khảo thêm bài viết ngằn về tính diện tích.

(2*) Dùng đơn giản. Đúng ra ta chia doạn [a,b] thành n đoạn nhỏ , trong đó .

(3*) Chiều dàitrong tam giác nhỏ này là một đoạn nhỏ trong đường biểu diễn của đường cong f(x) và nó không phải là đường thẳng. Nhưng ta xét tam giác có cạnh đang nhỏ dần và tiến về 0, thì đoạn nhỏ này coi như là đường thẳng và ta có thể áp dụng công thức Pythagore.

Ngày 14 tháng 11 năm 2006.

Mọi ý kiến xây dựng và bài vở xin liên lạc dothi@seriesmathstudy.com.

Trở về Toán Trực Tuyến