Phần mềm GraphFunc với giao diện tiếng Việt và Anh giúp vẽ bất kỳ đồ thị hàm số (hình thành từ các hàm số sơ cấp cơ bản) trong các hệ Đề-Các, hệ hàm cực và hệ hàm tham số trên trục tọa độ hai hoặc ba chiều.  GraphFunc hỗ trợ số chức năng giúp tìm hiểu thêm một số chủ đề về Toán Giải Tích như: Tính đạo hàm cấp I/II, tìm những điểm cực  trị, tìm đường tiếp tuyến/pháp tuyến, giải phương trình, giải phương trình tuyến (nhiều ẩn), tính diện tích hợp bởi đường cong và trục x-axis cùng các đường thẳng đứng, tính độ dài của (cung) đường cong, tính thể tích xoay, tính diện tích mặt xoay, và vân vân.   Bạn có thể dùng GraphFunc như là một dụng cụ Calculator dùng để kiểm tra đáp án của một số dạng bài tập trong môn Giải Tích. Vì phần mềm viết bằng Java, máy bạn cần phải cài JRE (Java Runtime Environment) trước khi sử dụng tiện ích GraphFunc trực tuyến.  JRE (tải từ hãng Sun) giúp hiển thị phần mềm này trong trình duyệt Internet Explorer hay trình Mozilla hoặc trong trình duyệt tương thích khác.  Hiện nay có hai phiên bản cho phần mềm GraphFunc: phiên bản thứ nhất (gọi là phiên bản cũ) thích hợp với các JRE từ 1.4x trở lên; và phiên bản hai (cũng phiên bản mới nhất) tương thích với JRE từ 1.5x trở lên.  Nếu bạn muốn sử dụng ngay một trong hai phiên bản này, bạn hãy vào một trong các trang website sau đây:

• Phiên bản cũ, tiếng Việt: http://vietgraph.seriesmathstudy.com  (tương thích mọi JRE từ 1.4x trở lên)
• Phiên bản mới, tiếng Việt: http://toantructuyen.seriesmathstudy.com  (tương thích mọi JRE từ 1.5x trở lên)
• Phiên bản mới, tiếng Anh: http://newgraph.seriesmathstudy.com (tương thích mọi JRE từ 1.5x trở lên)
• Phiên bản cũ, tiếng Anh: http://graph.seriesmathstudy.com (tương thích mọi JRE từ 1.4x trở lên)

Trong các trang websites vừa nêu ở trên đều có mục hướng dẫn và một số bài ví dụ ngắn (bấm vào các đường dẫn ở trên đỉnh của trang này để vào các mục của bài viết ngắn; hãy bấm vào đây nếu bạn không thấy) nhằm diễn đạt cách sử dụng GraphFunc.  Để sử dụng GraphFunc một cách hiệu quả, bạn nên xem trước về cách gõ cú pháp cho biểu thức hàm số.  Đoạn bạn hãy tìm hàm số nào rất quen biết rồi dùng GraphFunc để vẽ.  Sau đó, bạn dùng sự hiểu biết của mình về hàm số này để kiểm tra các chức năng của GraphFunc và làm quen với cách sử dụng các nút trên giao diện mà GraphFunc hỗ trợ.  Sau khi bạn đã “quen” GraphFunc rồi, bạn hãy dùng GraphFunc để vẽ hàm hợp bất kỳ (hàm hợp này do các hàm số sơ cấp khác kết hợp lại) và bạn sẽ thấy kết quả thu được sẽ là điều tất yếu.

Dưới đây chúng tôi sơ lượt qua về giao diện của GraphFunc.  Sau đó đề cập tới cách dùng cú pháp để gõ hàm số và cung cấp ví dụ minh họa.  Sau cùng chúng tôi chỉ dẫn và trình bày những chức năng và thao tác mà GraphFunc hỗ trợ.

Sơ Lượt:  Khi bạn truy cập vào trang tiện ích GraphFunc, bạn thấy giao diện của phần mềm này được hiển thị ngay trên duyệt trình như miêu tả trong Hình 1.  Theo mặc định, GraphFunc tự động vẽ hàm số f(x) = x*sin(x).  Khi giao diện GraphFunc đã được hiển thị, thì bạn có thể gõ biểu thức của bất kỳ hàm số sơ cấp hay hàm hợp vào ô có nhãn hiệu f(x) =, sau đó bấm vào nút Vẽ Hàm! để vẽ đồ thị hàm số mà bạn vừa gõ.   Mỗi khi hàm số được gõ vào ô văn bản lớn và bạn chọn một hoặc nhiều chức năng nào đó lên hàm số này xong, thì bạn cần bấm nút "Vẽ Hàm!" để những chức năng bạn vừa chọn có hiệu lực lên hàm số mà bạn đã gõ.  Trong Hình 1, bạn thấy giao diện GraphFunc có hiển thị những chức năng được diễn tả qua các nút tự-giải-thích như: 2 Chiều (chọn nút này để vẽ hai hoặc ba chiều), Hàm TọaĐộ Đề-Các (chọn nút này để vẽ hàm số theo hệ Đề-Các, hàm cực hay hàm tham Số), Diện Tích (dùng để tính diện tích hợp bởi đường f(x), trục x-axis trong đoạn Từ và Tới), nút Xóa/Hủy (dùng để xóa các thao tác và cấu hình bạn đã chọn và đưa GraphFunc về cấu hình theo mặc định như lúc nó vừa được khởi động), và nhiều nút khác sẽ được miêu tả tiếp theo phần ví dụ minh họa gõ cú pháp.

Một Số Ví Dụ Minh Họa Gõ Cú Pháp:

Các toán tử +, -, * và / lần lượt là ký hiệu của dấu cộng, trừ, nhân và chia.  Dấu ^ là ký hiệu của dấu lũy thừa.

(Xem thêm một số hàm sơ cấp và ví dụ minh họa)
(Bạn hãy thử gõ hàm hợp của bạn dựa vào các hàm sơ cấp)

Chức Năng Và Thao Tác:  Sau khi bạn gõ hàm số cần vẽ vào chỗ có nhãn hiệu "f(x) = " trên phần mềm GraphFunc, bạn bấm con trỏ vào nút "Vẽ Hàm!" và đồ thị của hàm sẽ được hiển thị.  Đến đây bạn có thể thực hiện một số chức năng mà GraphFunc hỗ trợ bằng những thao tác đơn giản được diễn tả như sau:

• Kéo-nhả vùng đồ thị bằng con trỏ.

• Chọn mục "Chọn Một Hàm" để vẽ một đồ thị hàm số hay chọn "Chọn Nhiều Hàm" để vẽ nhiều đồ thị hàm số cùng một lúc.   Khi đang trong chế độ vẽ nhiều đồ thị cùng một lúc, bạn nên chọn mầu cho mỗi hàm số để kết quả dễ phân biệt.  Để chọn mầu cho một hàm số, bạn chỉ cần bấm vào nút mầu ô vuông (vị trí của ô này nằm phía phải của nhãn hiệu "f(x)= hoặc f1(x)")  tương ứng cho mỗi hàm.  Sau khi bấm nút mầu ô vuông, thì một hộp đàm thoại (cửa sổ) được hiển thị.  Bạn dùng trỏ (con chuột) kéo các thanh trượt ngang để chọn mầu thích hợp, sau đó bạn bấm nút OK để kết thúc thao tác chọn mầu.  Sau khi chọn mầu xong, bạn bấm vào nút "Vẽ Hàm" để hiển thị đồ thị hàm số theo mầu bạn vừa chọn.

• Trong trường hợp bạn chọn chế độ "Chọn Nhiều Hàm" để vẽ nhiều hàm số cùng một lúc và nếu bạn muốn coi giá trị đạo hàm hay diện tích của một trong những hàm này, bạn chỉ cần bấm vào hàm số có nhãn hiệu như f(x), f1(x) hoặc f2(x) sao cho mầu đỏ được xuất hiện trên hàm số bạn muốn, sau đó bạn chỉ cần nhấn các thao tác khác như nút "Tính", "Diện Tích" hoặc "Độ Dài" để (có thể coi tiếp ở phía dưới cho các đoạn mô tả về thao tác này) tìm giá trị tương ứng cho hàm số mà bạn vừa mới chọn.  Muốn xem đồ thị của nhiều hàm số trong chế độ ba chiều, bạn bấm vào mục "3 Chiều" và bạn phải gõ lại hàm số cần vẽ trong chế độ này.

• Muốn vẽ hàm tọa độ cực hay hàm tham số, bạn bấm vào mục Hàm Tọa Độ Cực hay Hàm Tham Số từ hộp thanh kéo Hàm Tọa Độ ĐềCác. Biến số dùng để vẽ hàm số theo hai hệ này là "t".  Khi dùng theo hàm tọa độ cực, thì t là biến số góc.  Còn khi dùng theo hàm tham số, thì t là tham số.   Bạn cung cấp hai giá trị "Từ" và Tới" để biết khoảng mà hàm số cần được vẽ.  Sau đó bấm nút Vẽ Hàm để vẽ hàm số trong các hệ này.
  

• Tính giá trị của f(x) và các giá trị đạo hàm cấp một (f '(x)) và đạo hàm cấp hai (f "(x)) của nó bằng cách cho giá trị x trước khi bấm nút "Tính".  Những giá trị này cũng được hiển thị khi bấm con trỏ vào bất vị trí nào trên đồ thị trong chế độ hai chiều.   Chức năng này cũng áp dụng cho các hàm tọa độ cực hay hàm tham số.  Khi ở chế độ thuộc hệ hàm tọa độ cực hay hàm tham số, thì luôn có hai nút Tính được hiển thị: một dùng để tính trị số của hàm số hay đạo hàm và các giá trị khác theo biến số t; nút còn lại dùng để tính các trị số của hàm số hay các đạo hàm của nó theo biến số x.  GraphFunc có thể tính được các giá trị gần đúng cho các hàm không phải là sơ cấp khi sử dụng nút Tính này.
  

• Tính diện tích được giới hạn bởi hàm số f(x), trục hoành x và các đường thẳng đứng, ta bấm vào nút "Diện Tích" sau khi đã điền các giá trị của hai điểm nằm trong khoảng "Từ" và "Tới".   Sau khi bấm nút "Diện Tích", diện tích được tính hiển thị ngay bên cạnh nút "Diện Tích" và đồng thời các dấu vạch dọc xuất hiện trên đồ thị để minh họa vùng diện tích mà GraphFunc đã tính.
  

• Tìm độ dài của đường cong f(x) nằm giữa hai điểm (cần điền giá trị của hai điểm vào chỗ có nhãn hiệu "Từ" và "Tới") bằng cách bấm vào nút "Độ Dài".  Sau khi bấm nút "Độ Dài", tổng số chiều dài được hiển thị bên cạnh nút này và đồng thời trên đồ thị bên trái có một đường mầu đỏ được hiển thị để minh họa độ dài vừa tính được của đường cong f(x) tại giữa hai điểm.

• Bấm vào nút "Tiếp Tuyến" để vẽ đường tiếp tuyến hay pháp tuyến tại bất kỳ một điểm nào trên hàm số f(x) (pháp tuyến là đường vuông góc với tiếp tuyến).  Khi bạn bấm vào nút này, một cửa sổ đối thoại sẽ hiển thị, bạn chọn mục "Tiếp Tuyến" từ thanh-kéo nếu bạn muốn vẽ đường tiếp tuyến với đường cong f(x) hay bạn chọn mục "Pháp Tuyến" nếu bạn muốn vẽ đường pháp tuyến với đường cong f(x).  Sau đó bạn điền giá trị x, điểm mà tiếp tuyến tiếp xúc với đường cong, và hai giá trị cho "Từ" và "Tới" - trong đó "Từ" và "Tới" là những giá trị dùng để vẽ tiếp tuyến hay pháp tuyến trên một đoạn nhất định trong tọa độ.  Hai trị số sau cùng không bắt buộc bạn điền vào.  Khi bạn muốn xóa đường tiếp tuyến hay pháp tuyến trên đồ thị, bạn có hai cách.  Cách thứ nhất dùng nút Xóa/Hủy nhưng nút này sẽ xoá hết các giá trị mà bạn hiện đang có và sẽ gán các giá trị mặc định như lúc ban đầu mà GraphFunc khởi động.  Cách thứ hai bạn bấm bất kỳ vào các nút trên GraphFunc để chế độ tìm hay vẽ tiếp tuyến không còn hiệu lực.
  

• Muốn xác định giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số f(x) bằng cách chọn nút thanh "Chức Năng" kéo xuống để chọn "Cực Đại/Tiểu" (đúng ra là "Điểm Cực Trị") và sau đó phải bấm con trỏ vào đồ thị ở những chỗ mà có đường cong lồi hay lõm; còn gọi là đỉnh - đó là những điểm mà đạo hàm thứ nhất của hàm số f(x) tại điểm đó có giá trị bằng 0.  Sau khi bạn bấm con trỏ gần các đỉnh của đường cong f(x), thì giá trị cực đại hay cực tiểu được GraphFunc hiển thị ở nhãn hiệu  "x =" , "f(x) =", và giá trị đạo hàm thứ nhất và thứ hai tại điểm này cũng được hiển thị ở f '(x) = , và f "(x) =.  Khi bạn bấm con trỏ trên đồ thị và thấy chữ "No Minima or Maxima found." mầu đỏ hiển thị, GraphFunc ngụ ý báo hiệu không có giá trị cực đại hay cực tiểu tìm thấy trong một khoảng nhỏ hay trong khoảng từ Xmin và Xmax mà bạn có thể thấy. Giá trị của Xmin và Xmax này, theo mặc định, được gán là -10 và +10.  Chú ý: Bạn nên bấm vào nút thanh Cực Đại/Tiểu và kéo trở về "Chức Năng" như lúc ban đầu khi bạn không dùng chức năng này nữa.  Làm như vậy bạn sẽ không bị lẫn lộn giữa các chế độ khi đi tìm giá trị cực đại/tiểu với các giá trị mặc định khác khi bạn bấm con trỏ trên vùng đồ thị.

• Muốn tìm những điểm cắt trục hoành (x-axis) của hàm số f(x), bạn cũng làm giống như thao tác tìm cực đại/tiểu ở trên nhưng bạn chọn "Điểm Cắt Ox" từ thanh kéo "Chức Năng".   Bạn cũng dễ nhận thấy rằng khi ta nói tìm những điểm mà hàm số f(x) hay đường cong nào đó cắt trục hoành (x-axis), thì điều đó cũng gần đồng nghĩa với đi tìm nghiệm số của phương trình f(x) = 0.  Như vậy bạn có thể dùng chức năng này để tìm những nghiệm số gần đúng của phương trình f(x) = 0.  Khi bạn bấm để dùng chức năng này bạn sẽ thấy một cửa sổ hiển thị các điểm cắt trong khoảng đã chọn.  Nếu bạn muốn tìm từng điểm trên tọa độ, bạn chỉ cần bấm con trỏ gần các điểm mà đường cong cắt trục hoành, bạn sẽ thấy giá trị được GraphFunc tính hiển thị bên nhãn hiệu ở tay phải.  Chú ý: Khi bạn dùng chức năng này trong trường hợp bạn đang sử dụng chế độ vẽ nhiều hàm số cùng một lúc, bạn cần chú ý tới nhãn hiệu có mầu đỏ đang hiển thị trên f(x) vì nó ngụ ý bạn đang tìm nghiệm hay tìm điểm cắt trục hoành cho hàm số đó.

• Giải hệ phương trình tuyến với n phương trình và n ẩn số.  Để vào mục này bạn bấm vào nút Giải PT Tuyến từ hộp thanh kéo có nhãn hiệu "Chức Năng".  Sau khi chọn xong, bạn thấy một hộp cửa sổ xuất hiện và bạn cần gõ các hệ số cho phương trình.  Nếu phương trình không có ẩn số thì bạn buộc phải điền 0.  Sau khi điền xong các hệ số cho các phương trình, bạn bấm nút Giải để cho ra kết quả.  Chức năng này hỗ trở giải hệ phương trình tuyến với nhiều ẩn số mà không có giới hạn.
  

• Bấm vào nút Chuỗi Số từ hộp kéo "Chức Năng" để tìm tổng các số hạng của một bất kỳ dãy số khi đã biết số hạng đầu và số hạng cuối.  Bấm vào đây xem thêm một số ví dụ minh họa.

• Bấm vào nút Mortgage Calc từ hộp kéo Chức Năng để chọn chức năng tính tiền thế chấp.
  

• Có thể thu nhỏ hay phóng lớn một đồ thị dùng các nút "Phóng To" hoặc "Thu Nhỏ".  Chú ý: khi dùng chức năng này và kết hợp với chức năng khác như tính chiều dài, diện tích hay tìm giá trị cực đại/tiểu, tùy theo giá trị nhỏ hay lớn của cách thu hay phóng, quá trình tính toán của GraphFunc sẽ nhanh hay chậm.
  

• Vẽ đồ thị theo tọa độ ba chiều bằng cách chọn mục "3 Chiều".  Muốn trở lại tọa độ hai chiều thì bạn chọn "2 Chiều".  Khi bạn muốn vẽ đồ thị hàm số ở hai chiều, thì hàm số đó chỉ có duy nhất một biến số x.  Khi bạn muốn vẽ đồ thị hàm số hay hàm mặt ở trong tọa độ ba chiều, thì hàm số đó có một biến số x hoặc nó có chứa cả hai biến số x và y.
  

• Khi ở chế độ 3 chiều, hình ảnh đồ thị có thể bị nhấp nháy vì sự chuyển động, bạn bấm vào nút "Motion" để tắt sự "chuyển động" đó.  Một vài dạng hình ảnh ba chiều được quan sát theo chế độ khác nhau, và đuợc minh họa bằng cách chọn mục Hình Lưới hay Hình Đặc từ hộp thanh kéo Đặc và Lưới.   Ngoài ra, các thao tác kéo hay nhả con trỏ trên vùng đồ thị trong chế độ này sẽ hiển thị đồ thị dưới lăng kính nhìn ở nhiều góc độ khác nhau.

• Trong chế độ ba chiều, bạn thấy thể tích của f(x) khi nó được xoay chung quanh trục x (x-axis) bằng cách chọn mục "x-axis" từ thanh kéo Tắt bên cạnh nhãn hiệu "Xoay Quanh" để chọn mục "x-axis".  Bạn có thể chọn thêm các mục ở Hình Lưới hay Hình Đặc với mục đích để nhìn hình vẽ đồ thị ở dạng có hiển thị các đường nét vẽ theo kiểu đan lưới xen kẽ được đính kèm hoặc hình vẽ không có hình lưới.  Trong phần chọn vẽ đồ thị quay quanh trục x này, GraphFunc chỉ có thể vẽ hàm số có một biến số x mà không thể vẽ hàm số có hai biến số x và y mặc dù bạn đang ở trong chế độ "View 3D".  Khi bạn chọn chức năng vẽ nhiều đồ thị cùng một lúc và để tránh tình trạng hình vẽ bị khó quan sát hay phân biệt vì do sự vẽ chồng các hàm số lên nhau, bạn nên chọn chức năng Hình Lưới để dễ quan sát nhiều đồ thị cùng một lúc.  Bạn bấm vào đây xem thêm hình minh họa.  Chú ý: bạn cẩn thận khi dùng chế độ quay quanh trục x ( "Xoay Quanh" cho "x-axis" ) sau khi dùng xong, bạn cần tắt chế độ này đi (chọn Tắt) khi không dùng đến phần này nữa trong lúc bạn muốn tiếp tục sử dụng các chế độ khác của GraphFunc.  Sự cẩn thận đó giúp bạn tránh hiểu lầm giữa đồ thị vẽ trong dạng ba chiều và đồ thị ở dạng quay quanh trục hoành hay tung. (phần này sẽ cập nhật thêm về tính thể tích xoay)

• Bấm vào nút "Xóa/Hủy" sẽ xoá hết các giá trị và đưa GraphFunc trở về với các giá trị mặc định ban đầu.

• Bạn có thể hiển thị đồ thị trong các khoảng tùy chọn dọc theo các trục x hoặc y bằng cách gán giá trị cho các thông số:  Xmin, Xmax, Ymin và Ymax.  Trong đó Xmin và Xmax là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất mà GraphFunc có thể hiển thị đồ thị dọc theo trục x.  Tương tự, Ymin và Ymax là giá trị nhỏ và lớn nhất cho trục y.

• Bấm vào đây xem phần hướng dẫn cũ - phần giải thích dựa theo giao diện tiếng Anh của GraphFunc.
  

Bây giờ bạn có thể dùng GraphFunc theo các đường dẫn đã được miêu tả trên đây để vẽ hàm số mà bạn muốn.  Hoặc bạn có thể nhấn vào đây để vào trang vẽ đồ thị trực tuyến.  Theo mặc định, thì GraphFunc đã vẽ hàm số f(x) = x sin(x).

Xin chân thành cảm tạ bạn đã quan tâm và sử dụng phần mềm GraphFunc.   Mọi bài vở và ý kiến xây dựng, xin gởi về dothi@seriesmathstudy.com.

---

Chú ý:

• Nếu máy bạn chưa có JRE cài sẵn, bạn sẽ thấy một khung hình chữ nhật mầu xám lớn hiển thị khi bạn vào một trong các trang có chứa phần mềm GraphFunc nêu ở trên.  Hoặc nếu máy bạn đã có JRE cài rồi và bạn vẫn không thấy phần mềm GraphFunc hiển thị trên duyệt trình, bạn cần kiểm tra lại sự tắt/mở của các chức năng: bức tường lửa, security và ActiveX.

• Khi bạn sử dụng trình duyệt Mozilla vào một trong website vừa nêu ở trên và nếu máy bạn chưa có Java cài đặt, thì trình Mozilla sẽ nhắc bạn cài phần JRE.  Nếu bạn đồng ý, nó tự động tải JRE từ hãng Sun và cài JRE trên máy của bạn.  Ngay sau khi cài xong, bạn phải đóng trình Mozilla này và mở nó lại để JRE trên máy bạn tác động vào trình duyệt có hiệu lực.  Bạn để ý rằng, trong lúc này nếu bạn mở trình duyệt Internet Explorer, bạn sẽ thấy phần mềm GraphFunc hiển thị trên trình duyệt này (vì lúc này máy bạn đã có JRE rồi).

• Nếu máy bạn có cài JRE 1.4x, bạn sẽ không chạy được phiên bản GraphFunc mới vì phiên bản mới thuộc về JRE 1.5x trở lên.  Do đó, để chạy phiên bản mới, bạn cần nâng cấp JRE.

---